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\title{常微分方程考试A解答}
\author{2022级数学与应用数学1班}
\date{2023年秋季}

\begin{document}

\maketitle


本次考试共10题，每题10分。

\begin{enumerate}\itemsep2em

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %1
设 $a,b,c$ 是实数常数。判断微分方程 $(2ax+by)dx + (bx+2cy)dy=0$ 是否为恰当方程，并求解。

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  将原方程写成 $Pdx+Qdy=0$ 的形式。
\item  计算可得 $P'_y=b$ 与 $Q'_x=b$. %%\dotfill (\underline{\,\,4分\,\,})
\item  因为 $P'_y=Q'_x$, 所以这是恰当方程。
\item  设 $d\Phi=Pdx+Qdy$, 则有 $\Phi'_x=P$ 与 $\Phi'_y=Q$. 
\item  由 $\Phi'_x=2ax+by$ 可得 $\Phi = ax^2+bxy+\varphi(y)$, 其中 $\varphi(y)$ 待定。%%\dotfill (\underline{\,\,3分\,\,})
\item  代入 $\Phi'_y=Q$ 可得 $bx+\varphi'(y)=bx+2cy$, 求得 $\varphi(y)=cy^2+C$, 其中 $C$ 是任意常数。
\item  原方程的通解为 $\Phi = ax^2+bxy+cy^2+C=0$. %%\dotfill (\underline{\,\,3分\,\,})

\end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage 
\item %2
设连续函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,\infty)$ 上是有界的。求出微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = f(x)$ 的通解。
有多少个解在区间 $(-\infty,\infty)$ 上是有界的？

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  两边同时乘以积分因子 $e^{x}$ 可得 $e^x(y'+y)=e^xf(x)$, 即为 $[e^xy]' = e^xf(x)$. 
\item  两边对 $x$ 从 $-\infty$ 到 $x$ 积分可得 $$e^xy(x) = \int_{-\infty}^x e^tf(t)dt + C. $$
\item  求出 $y(x)$ 为 $$y(x) = e^{-x}\int_{-\infty}^x e^tf(t)dt + Ce^{-x}. $$ %%\dotfill (\underline{\,\,6分\,\,})
\item  设 $|f(x)|\le M$ 对任意 $x\in (-\infty,\infty)$ 成立，则有 $-Me^t \le e^tf(t) \le Me^t$. 
\item  因为从 $-\infty$ 开始的积分保持不等式的方向，所以两边积分可得 
\begin{eqnarray*}
 -Me^x \le \int_{-\infty}^x e^tf(t)dt \le Me^x. 
 \end{eqnarray*}
\item  因为乘以一个正数保持不等式的方向，所以 
\begin{eqnarray*}
-M\le e^{-x}\int_{-\infty}^x e^tf(t)dt \le M. 
 \end{eqnarray*}
 
\item  因此当 $C=0$ 时，得到唯一的有界的解函数。%%\dotfill (\underline{\,\,4分\,\,})
%$$y(x)=e^{-x}\int_{-\infty}^x e^tf(t)dt.$$ 

\end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage 
\item %3
记 $p=\frac{dy}{dx}$, 求隐式微分方程 $y=(x+2)p+p^2$ 的奇解。 

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  两边对 $x$ 求导，可得 $p = p + (x+2)p' + 2pp'$. %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\item  化简并分解因式，可得 $(x+2+2p)p'=0$. %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\item  由 $p'=0$ 得到 $p=c$ 为任意常数，代入原方程得到 $y=cx + 2c + c^2$. 验证为通解。
\item  由 $x+2+2p=0$ 得到 $x=-2-2p$, 代入原方程得到 $y=(x+2+p)p=-p^2$. 
\item  消去 $p$ 可得 $(x+2)^2 = -4y$, 即 $y=-\frac{1}{4}(x+2)^2$. %%\dotfill (\underline{\,\,6分\,\,})
\item  验证可知 $y=-\frac{1}{4}(x+2)^2$ 在每一点都与某通解 $y=cx + 2c + c^2$ 相切，所以是奇解。
\end{enumerate}

\begin{figure}[ht]\centering
\includegraphics [height=4cm, width=6cm]{ode-final-a-3.png}
\caption{第3题：奇解图像}
\label{tu-3}
\end{figure}

}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage 
\item %4
设有一根长度为 $\ell$ 的不计质量的细线，上端固定，下端悬挂一个质量为 $m$ 的小球，组成一个单摆。设空气阻力与速度成正比，根据牛顿第二运动定律，导出单摆的运动方程。

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  设在 $t$ 时刻，细线与竖直线的夹角为 $x(t)$. 
\begin{figure}[ht]\centering
\includegraphics [height=4cm, width=6cm]{ode-final-a-4.png}
\caption{第4题：单摆的受力分析}
\label{tu-4}
\end{figure}

\item  则小球的运动速度的大小为 $\ell x'(t)$,  加速度大小为 $\ell x''(t)$.  %%\dotfill (\underline{\,\,4分\,\,})
\item  由题目假设， 空气阻力大小为 $k\ell x'(t)$. %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\item  根据牛顿第二运动定律，可得 
\begin{eqnarray*}
m \ell x''(t) = - mg\sin(x) - k\ell x'(t) 
\end{eqnarray*} %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\item  两边除以 $m\ell$, 移项，得到一个二阶常微分方程 
\begin{eqnarray*}
x''(t) + \frac{k}{m} x'(t) + \frac{g}{\ell} \sin(x) = 0. 
\end{eqnarray*} %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})

\end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage 
\item %5
%设 $A$ 是一个 $n$ 阶实数矩阵，设 $\vec{y}(x)$ 是关于实数 $x$ 的 $n$ 维向量值函数。
%证明微分方程组 $\frac{d\vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 有解函数 $\vec{y}=e^{\lambda x}\vec{r}$, 当且仅当 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值而且 $\vec{r}$ 是矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

求下述齐次线性微分方程组的通解：
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 2&4&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}.
\end{eqnarray*}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  首先看到系数矩阵是一个分块对角矩阵，原方程组等价于两个微分方程
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} 
=\begin{bmatrix} 2&4 \\ 0&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y  \end{bmatrix}, \hspace{0.5cm}
\frac{dz}{dt} = 3z. 
\end{eqnarray*} %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})

\item  第二个方程的解为 $z=e^{3t}$.  %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})

\item  第一个方程的基解矩阵为
\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{bmatrix} &=& \exp\left( \begin{bmatrix} 2&4 \\ 0&2 \end{bmatrix}t \right)
=\exp\left( \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0&2 \end{bmatrix}t \right)\exp\left( \begin{bmatrix} 0&4 \\ 0&0 \end{bmatrix}t \right) \\ 
&=&e^{2t}\left( \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&4 \\ 0&0 \end{bmatrix}t \right)  
= e^{2t}\begin{bmatrix} 1&4t \\ 0&1 \end{bmatrix}. 
\end{eqnarray*} %%\dotfill (\underline{\,\,4分\,\,})

\item  综合可得原方程的通解如下，其中 $C_1,C_2,C_3$ 是任意常数，
\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}
= C_1 \begin{bmatrix} e^{2t} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
+ C_2 \begin{bmatrix} 4te^{2t} \\ e^{2t} \\ 0 \end{bmatrix}
+ C_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ e^{3t} \end{bmatrix}. 
\end{eqnarray*} %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})

\end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage 
\item %6
求常系数线性微分方程的通解：$y''+3y'+2y=4x$. 

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  
先求齐次线性微分方程 $y''+3y'+2y=0$ 的通解。
\item  
设 $y=e^{\lambda x}$, 代入可得特征方程为 $\lambda^2+3\lambda+2=0$. 由此求得两个特征值 $\lambda_1=-1, \lambda_2=-2$.  

...%%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\item  
所以齐次线性微分方程的通解为 
$y=C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$, 其中 $C_1,C_2$ 是两个任意常数。 %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\item  
设特解有形式 $y=ax+b$. 代入原方程可得 $3a+2(ax+b)=4x$. 
\item  
由此求得 $a=2, b=-3$. 所以特解为 $y=2x-3$.   %%\dotfill (\underline{\,\,4分\,\,})
\item  
综合可得原方程的通解为 $y=C_1e^{-x} + C_2e^{-2x} + 2x-3$.  %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage 
\item %7
求初值问题的幂级数解的前五项：
\begin{eqnarray*}
y''+xy'+y=0, \,\, y(0)=1, y'(0)=1. 
\end{eqnarray*}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  
将初值条件代入微分方程，可得 $y''(0)=-y(0)=-1$. 
\item  
在微分方程两边对 $x$ 求导，可得
$%\begin{eqnarray*}
y''' + xy'' + y' + y' = 0. 
$%\end{eqnarray*}
\item  
代入初值可得 $y'''(0)=-2y'(0)=-2$. 
\item  
在上述等式两边继续对 $x$ 求导，可得
$%\begin{eqnarray*}
y^{(4)} + xy''' + y'' + 2y'' = 0. 
$%\end{eqnarray*}
\item  
代入初值可得 $y^{(4)}(0)=-3y''(0)=(-3)(-1)=3$. 
\item  
因此幂级数解的前五项为 
\begin{eqnarray*}
y_4 &=& y(0) + y'(0)x + \frac{y''(0)}{2!}x^2 + \frac{y'''(0)}{3!}x^3 + \frac{y^{(4)}(0)}{4!}x^4 \\ 
&=& 1 + x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{-2}{3!}x^3 + \frac{3}{4!}x^4. 
\end{eqnarray*} %%\dotfill (\underline{\,\,每个系数2分\,\,})

\end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage 
\item %8
按定义验证 $x=0$ 是微分方程 $xy''-y=0$ 的正则奇点，并求出广义幂级数解的前四项。

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  
将原方程写成 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 的形式，可得 $p(x)=0, q(x)=-\frac{1}{x}$. 
\item  
因为 $xp(x)=0$ 与 $x^2q(x)=-x$ 在 $x=0$ 附近取值有界，所以$x=0$ 是正则奇点。 %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\item  
设广义幂级数解如下，其中 $c_0\neq 0$,
\begin{eqnarray*}
y=c_0x^{\rho} +c_1x^{\rho+1} + c_2x^{\rho+2} + c_3x^{\rho+3} + \cdots,  
\end{eqnarray*} %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\item  
则有逐项求导可得 $y',y''$ 分别为 
\begin{eqnarray*}
y' &=& c_0\rho x^{\rho-1} + c_1(\rho+1)x^{\rho} + c_2(\rho+2)x^{\rho+1} + c_3(\rho+3)x^{\rho+2} + \cdots, \\ 
y'' &=& c_0\rho(\rho-1) x^{\rho-2} + c_1(\rho+1)\rho x^{\rho-1} + c_2(\rho+2)(\rho+1)x^{\rho} + c_3(\rho+3)(\rho+2)x^{\rho+1} + \cdots. 
\end{eqnarray*}
\item  
代入原方程，可得 
\begin{eqnarray*}
xy'' -y &=& c_0\rho(\rho-1) x^{\rho-1} + c_1(\rho+1)\rho x^{\rho} + c_2(\rho+2)(\rho+1)x^{\rho+1} + c_3(\rho+3)(\rho+2)x^{\rho+2} + \cdots \\ 
&&- c_0x^{\rho} - c_1x^{\rho+1} - c_2x^{\rho+2} - c_3x^{\rho+3} - \cdots. 
\end{eqnarray*} %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\item  
比较 $x^{\rho-1}$ 的系数，根据 $c_0\neq 0$ 的假设，可得指标方程为 $\rho(\rho-1)=0$, 所以 $\rho=0$ 或 $\rho=1$. 
\item  
当 $\rho=0$ 时，从 $x^{\rho}$ 的系数可得 $c_0=0$, 这与假设矛盾。 %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\item  
当 $\rho=1$ 时，从 $x^{\rho}$ 的系数可得 $c_1= \frac{c_0}{2\cdot 1}$. 
\item  
从 $x^{\rho+1}$ 的系数可得 $c_2= \frac{c_1}{3\cdot 2} = \frac{c_0}{(3\cdot 2) (2\cdot 1)}$. 
\item  
从 $x^{\rho+2}$ 的系数可得 $c_3= \frac{c_2}{4\cdot 3} = \frac{c_0}{(4\cdot 3)(3\cdot 2) (2\cdot 1)}$, 以此类推。
\item  
因此广义幂级数解的前几项为（不计任意常数 $c_0$）
\begin{eqnarray*}
y = x + \frac{x^2}{2\cdot 1} + \frac{x^3}{(3\cdot 2) (2\cdot 1)} + \frac{x^4}{(4\cdot 3)(3\cdot 2) (2\cdot 1)} + \cdots. 
\end{eqnarray*} %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})

\end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage 
\item %9
使用李雅普诺夫方法判断下述方程的零解的稳定性，
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& y-xy^4, \\
\frac{dy}{dt} &=& -x-x^2y.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  考虑函数 $V=x^2+y^2$.   %%\dotfill (\underline{\,\,3分\,\,})
\item  则有 
\begin{eqnarray*}
\frac{dV}{dt} &=& \frac{\partial V}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial V}{\partial y} \frac{dy}{dt} \\ 
&=& 2x(y-xy^4)+2y(-x-x^2y) = -2x^2y^4-2x^2y^2 =-2x^2y^2(y^2+1) \le 0,
\end{eqnarray*} %%\dotfill (\underline{\,\,2分+3分\,\,})

\item  因为当 $x=0$ 或 $y=0$ 时等号就成立，所以只能得出零解是稳定的。 %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage 
\item %10
求下列方程的奇点，判断奇点的类型，并作出奇点附近的相图：
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& 5x-2y, \\
\frac{dy}{dt} &=& 6x-2y. 
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  从 $\frac{dx}{dt}=0,\frac{dy}{dt}=0$ 可得原点 $(0,0)$ 是这个微分方程的奇点。%%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\item  计算系数矩阵的特征值与特征向量，可得系数矩阵的对角化
\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix} 5&-2 \\ 6&-2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&2 \end{bmatrix}. 
\end{eqnarray*}%%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})

\item  因为有两个互不相同的正的特征值，所以这个奇点是不稳定的两向结点。%%\dotfill (\underline{\,\,2分+2分\,\,})

\item  原方程的通解为 
\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} C_1e^t \\ C_2e^{2t} \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} C_1e^t+2C_2e^{2t} \\ 2C_1e^t+3C_2e^{2t} \end{bmatrix},
\end{eqnarray*}
其中 $C_1,C_2$ 是任意常数。
分别将 $(C_1,C_2)$ 取为 $(1,0)$ 与 $(0,1)$, 可得 $y=2x$ 与 $y=\frac{3}{2}x$ 是两条直轨线。
原点附近的相图如图\ref{tu-10}. %%\dotfill (\underline{\,\,2分\,\,})
\begin{figure}[ht]\centering
\includegraphics [height=5cm, width=5cm]{ode-final-a-10.png}
\caption{第10题：相图}
\label{tu-10}
\end{figure}

\end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{enumerate}

\end{document}





